FOLLETO SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

 

SOLUCION DE EJERCICIOS

GUIA DE EJERCICIOS DE TRIGONOMETRIA

Lamento no haberme puesto al día con los temas de la unidad, ahora les dejo una serie de ejercicios como práctica de la unidad, la próxima semana les daré a conocer las soluciones de cada uno.

GUÍA DE  AUTOESTUDIO 

DÉCIMO GRADO

Indicadores de logro a evaluar:

1.      Deduce las razones trigonométricas a partir del planteo y resolución en triángulos rectángulos de problemas prácticos de su realidad.

2.      Grafica las funciones trigonométricas y sus inversas, deduciendo sus propiedades y las fórmulas de reducción.

3.      Aplica las identidades fundamentales de la suma, resta, ángulo medio y ángulo doble en la demostración de identidades trigonométricas.

4.      Aplica los teoremas senos y cosenos en la solución de problemas con triángulos oblicuángulos. 

Ejercicio 1. Resolver los siguientes problemas aplicando las razones trigonométricas.

1. Una escalera de 20 pies de altura se coloca sobre una pared formando un ángulo de 60° con el nivel del suelo. ¿A qué altura de la pared se apoya la escalera?

2. Calcular el ángulo de elevación del sol si una mujer de 5 pies de estatura proyecta una sombra de 12 pies.

3. Ramón eleva una comenta y tiene sus manos a 4 pies por encima del suelo. Si el cometa está a 200 pies por encima del suelo y la cuerda del cometa hace un ángulo de 30° con la horizontal. ¿Cuántos pies de cuerda está utilizando?

4. Un avión de “La Costeña” despega del aeropuerto de Bluefields con un ángulo de elevación de 15° con relación al suelo, ¿Qué altura alcanza después de recorrer 1.5 km?

5. Un árbol proyecta una sombra de 14 metros. ¿Cuál es su altura si en ángulo de elevación con relación al sol es de 40°35´? 

6 . Redacta un problema relacionado con situaciones de la vida cotidiana  que se resuelva aplicando razones trigonométricas. 

Ejercicio 2. Trazar la gráfica de cada una de las funciones trigonométricas propuestas en el intervalo señalado y escriba sus propiedades: 

 

Ejercicio 3.  

a . Escribe la fórmula de la suma o la resta adecuada para hallar el valor exacto de la expresión:

sen 15°                             cos345°                 

b. Escribe cada una de las expresiones como función de un ángulo y calcula su valor.

   c. Demuestra las siguientes identidades:

Ejercicio 4. Resuelva los siguientes problemas aplicando los teoremas de  senos o cosenos. 

a.    La sección de un tejado tiene la forma de la figura. Los lados de la sección miden       7.5 m, 10 m y 12.5 m. Se quiere colocar una viga h para que resista mejor. Halla su altura y la distancia de su pie a los extremos.

b.      Dos alumnos A y B observan un globo que está situado entre ellos. La distancia entre los alumnos es de 400 m. Los ángulos de elevación del globo desde los alumnos son 46º y 52º, respectivamente. Halla la distancia de cada alumno al globo.

c.       Tres pueblos, A, B y C, están unidos por carreteras rectas y llanas. La distancia AB es de 6 km, la BC de 9 km y el ángulo que forman AB y BC es de 120º. ¿Cuánto distan A y C?.

d.      En un matrimonio de conveniencia las dos partes han aportado fincas triangulares colindantes como dotes respectivas. La finca resultante, también triangular, es la que aparece en la figura. Halla el área de la nueva finca.

 

e.       En lo alto de un acantilado hay un edificio de 20 m de altura. Desde el mar los ángulos de elevación de la base y el tejado son, respectivamente, 40º y 48º. Halla la altura del acantilado.

LOS ANIMO A QUE INTENTEN RESOLVERLOS SOLOS Y LUEGO DE SER NECESARIO CONSULTEN CON SUS COMPAÑEROS Y DOCENTE. 

A continuación algunos enlaces de páginas con fórmulas y videos explicativos: 
http://www.vitutor.com/al/trigo/t_f.html 
http://www.vadenumeros.es/primero/formulas-trigonometricas.htm 
http://www.youtube.com/watch?v=aufjlRW48Gk&feature=fvwrel 
 

AMPLITUD Y PERIODO DE UNA FUNCION TRIGONOMÉTICA

En este capítulo estudiaremos la gráfica de funciones trigonométricas de la forma F(x) = asen(bx ₊ c) y F(x) = acos(bx ₊ c). Para ello es necesario definir dos conceptos muy importantes: Amplitud y Periodo. 

Amplitud: Es el barrido que hace la función trigonométrica sobre el eje "y". Por ejemplo:

F(x) = 3Sen (x)

Entonces la imágen de la función F va a hacer el intervalo [-3,3] (siempre simétrico).

Periodo: Es lo que tarda la función en repetrise. Si tienes:

F(x) = Cos (2x)

Significa que:

P = 2*pi / 2 = pi

Cada intervalo "pi" en el eje "x" la onda cosenoidal se va a repetir. 

Aqui les dejo dos ejemplos de la gráfica de funciones seño y coseno con amplitud y periodo diferente, alcaro que las hice a mano así que disculpen si no están 100% exactas:

La primera es la función F(X) = 3sen2x, en ella la amplitud es de 3 y el período es de pi. está graficada en el intervalo de  menos pi a dos pi.

 La segunda es la función F(X) = (5/2)cos(1/2x), en ella la amplitud es de 5/2 = 0.5 y el período es de 4pi. está graficada en el intervalo de  menos 2pi a 4pi. 

 Ok eso es todo por ahora, como siempre les solicito dejen sus comentarios y tambien pueden escribir sus dudas que con gusto las responderé.

FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

A continuación les presento algunas de las gráficas que he podido encontrar en la red, cabe destacar que solo las he copiado,  para hacerlas sería necesario un programa llamado derive o cualquier otro para hacer gráficas, espero les sea de utilidad.

La gráfica de la función seno se ve así:

Dese cuenta que el dominio de la función y = sin x es todos los números reales (el seno está definido para cualquier medida de ángulo), el rango es −1 ≤ y ≤ 1.

La gráfica de la función coseno se ve así:

El dominio de la función y = cos x es todos los números reales (el coseno está definido para cualquier medida de ángulo), el rango es −1 ≤ y ≤ 1.

La gráfica de la función tangente se ve así:

El dominio de la función y = tan x es todos los números reales excepto los valores donde el cos x es igual a 0, esto es, los valores para todos los enteros n. El rango de la función tangente es todos los números reales.

Si quieren graficarlas en su cuaderno de notas les recomiendo usar la medida señalada en los ejes X y Y. 

Seguiré agregando más gráficas, espero me sigan.

Tema 2: Conversión entre grados y radianes.

En esta parte  abordo la parte de la relación entre el sistema sexagesimal (grados) y el sistema cicular (Radián).

Recuerda: 

Grado: Un grado sexagesimal es el ángulo central subtendido por un arco cuya longitud es igual a 1/360 de la circunferencia. Es la nonagésima (1/90) parte de un ángulo recto.  Se denota por 1°.

 Radián: El radián es la unidad de ángulo plano en el Sistema Internacional de Unidades. Representa el ángulo central en una circunferencia que subtiende un arco cuya longitud es igual a la del radio. Su símbolo es rad.

Los grados y los radianes son dos diferentes sistemas para medir ángulos. Un ángulo de 360^o equivale a 2π radianes; un ángulo de 180^o equivale a π radianes (recordemos que el número π = 3.14159265359…). Las equivalencias entre los cinco principales ángulos se muestran en las siguientes tres figuras:

Ejemplo 1: Convertir 80° a radianes:
80°=80°(π/180°)=80π/180=4π/9


Ejemplo 2: Convertir 2π/9 a radianes: 
2π/9=2π/9 ((180°)/π)=(360°)/9=40°

Observa que para pasar de grados a radianes se multiplica por  π/180° y para pasar de radianes a grados  por 180°/π.

EJERCICIOS: 

1. Convertir 82° a radianes. 

2. Convertir 7π/9 radianes  a grados. 

3. Convertir 247° a radianes. 

4. Convertir 1.84 radianes a grados.

5. Convertir 8π/3 a grados.

Si quieren profundizar un poco más sobre el concepto de radían, los invito a ver el siguiente video:

Bueno esto es todo por ahora, acepto comentarios y sugerencias.  

UNIDAD: TRIGONOMETRIA

Hola, este es un nuevo aporte sobre el estudio de la trigonometría, paso a paso según el programa vigente.
Como inicio les invito a ver el siguiente video: 

Como reforzamiento del origen de la trigonometría les dejo lo siguiente:
 

ORIGEN DE LA TRIGONOMETRÍA

La agrimensura y la navegación son prácticas que, desde sus orígenes, han requerido el cálculo de distancias cuya medición directa no resultaba posible; y otro tanto sucede en el ámbito de la astronomía. Para resolver este problema, los antiguos babilonios recurrieron ya a la trigonometría; es decir, a una serie de procedimientos que permiten poner en relación las medidas de los lados de un triángulo con las medidas de sus ángulos. La distancia desde un punto situado al pie de una montaña hasta su cima, por ejemplo, o desde una embarcación hasta un determinado punto de la costa, o la que separa dos astros, pueden resultar inaccesibles a la medición directa; en cambio, el ángulo que forma la visual dirigida a un accidente geográfico, o a un punto de la bóveda celeste, con otra visual fijada de antemano (como puede ser la dirigida según la horizontal), acostumbra ser fácil de medir mediante instrumentos relativamente sencillos. El objetivo de la trigonometría es establecer las relaciones matemáticas entre las medidas de las longitudes de los segmentos que forman los lados de un triángulo con las medidas de las amplitudes de sus ángulos, de manera que resulte posible calcular las unas mediante las otras. 

Historia de la Trigonometría

El origen de la palabra TRIGONOMETRÍA proviene del griego "trigonos" (triángulo) y "metros" (metria).

Los babilonios y los egipcios (hace más de 3000 años) fueron los primeros en utilizar los ángulos de un triángulo y las razones trigonométricas para efectuar medidas en agricultura y para construir pirámides. Posteriormente se desarrolló más con el estudio de la astronomía mediante la predicción de las rutas y posiciones de los cuerpos celestes y para mejorar la exactitud en la navegación y en el cálculo del tiempo y los calendarios.

El estudio de la trigonometría pasó después a Grecia, donde destaca el matemático y astrónomo Griego Hiparco de Nicea. Más tarde se difundió por India y Arabia donde era utilizada en la Astronomía. Desde Arabia se extendió por Europa, donde finalmente se separa de la Astronomía para convertirse en una rama independiente de las Matemáticas.

A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes trabajaron con la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También descubrieron y demostraron teoremas fundamentales de la trigonometría.

A principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.

A mediados del siglo XVII Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.

Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.

 Bueno esto es todo por ahora, este blog lo estaré actualizando por cada contenido. Siganme y dejen sus comentarios. 

Las imagenes, video y documentación  son  una recompilación de diversas fuentes.